회절 3 : 실제 시료들 - 미결정 크기, 간섭 함수, 변형1

1. 미결정 크기

 상쇄 간섭은 보강 간섭처럼 원자 배열의 주기성 결과라고 볼 수 있다. 만약 첫 두 개의 원자 면이 산란한 x선 광자 사이의 경로 차가 파장의 정수에서 조금만 다르게 되면, 첫 번째 면에서 나온 광자들과 정확하게 위상이 다르게 x선을 산란하는 원자면은 그 결정 내에 깊게 위치할 것으로 예상할 수 있다. 만약 결정들이 너무 작아서 이 원자 면이 존재할 수 없는 상황이라면, 산란 x선들이 모두 완전히 상쇄하는 일은 일어나지 않을 것이다. 이러한 상황에 따라 허용할 수 있는 '위상이 달라지는' 양과 결정의 크기 사이에 관계가 존재한다. 그 결과로, 아주 작은 결정 입자들은 회절빔의 폭 확장(작은 각의 분산)이 일어난다. 이는 즉, 정확한 Bragg 각의 근삿값이지만 그러나 같지 않은 각들에서 회절(산란)이 일어나게 한다. 그렇기 때문에 정확한 Bragg 각에서 약간 벗어난 각들에서 결정에 입사한 x선의 산란을 생각해보자. 예를 들어, 결정은 특정한 한 조의 Bragg 면에 수직 방향으로 측정한 두께가 t라고 가정한다면, 이 조에서 (m+1) 개의 면이 있다고 할 경우 Bragg 각 θ를 변수로 지정하고 θ B는 관련 λ와 d의 특정한 것에서 Bragg 법칙을 매우 정확하게 만족하는 각이라고 하거나 아래 식을 만족한다고 할 수 있다.

λ=2d*sin θ B

θ B에서 약간 다른 각에 있는 입사 x선들은 완전한 상쇄간섭을 발생시킨다. 결정의 중간에서 표면의 면에 있는 원자들에서 나온 선 B'와 반 파장(실제로 한 정수 더하기 반) 위상이 다른 x선들을 산란하는 원자가 모여 있는 한 면이 있다는 것을 의미한다. 이 선들은 서로 상쇄하고 결정 전체에 걸쳐 유사한 짝들의 면에서 나온 다른 선들로 그렇게 하여, 최종 결과는 결정의 상부 반이 산란한 선들은 하부 반이 산란한 선들을 없애는 것이다. 그러므로 한 2 θ1 각에서 회절한 빔의 강도는 영이다. 그리고 한 2 θ2 각에서도 0인데, 여기서 θ2는 표면 아래 m번째 면에서 나온 선 N'가 표면의 면에서 나온 선 C'와 (m-1) 파장 위상이 다른 그러한 각이다. 그렇기 때문에 요약하면, 이것은 두 개의 제한적인 하지만 2 θ1에 비해 더 크지 않거나 2 θ2에 비해 더 작지 않은 각에서는 회절 강도가 영이 아닌, 각 2 θ B에 회절한 빔의 최대 강도 사이의 중간값이 된다. 그러므로 회절 강도 대 2 θ의 곡선은 정확한 Bragg 각에서만 일어나는 회절이라고 볼 수 있다.

 

2. 간섭 함수

 회절 peak의 강도 계산은 정확한 Bragg 각 θ B에서 회절에 관계한 것이다. 이 각에서 결정 단위 포들의 변위를 발생시키는 어떤 결함들도 없는 데서, 그 결정의 단위 포에서 회절한 진폭의 모든 것은 각 단위에서 산란한 진폭 Fn의 합이다.

A(TOTAL) =N Fn

정확한 Bragg 각에서 벗어나게 되면, 개개의 단위로는 위상이 조금씩 다르게 산란한다. 또한 벡터 (S-S0)/λ는 더 이상 역격자의 원점에서 한 역격자 점으로 그을 수 없게 된다. θ이 θ B와 다를 경우, 유효하게 무한한 결정에서 산란한 x선들은 서로 위상이 다르고 회절 강도는 0일 것으로 예상할 수 있다. 만약에 결정 크기가 적당히 작다면, 그 강도는 정확한 Bragg 법칙에서 벗어나 0이 되지 않을 것이다. 이에 따라서 계산은 어떤 식으로 회절 강도가 각에 따라 회절 벡터 (S-S0)의 방향, 즉 Bragg 면들에 수직인 방향에 있는 단위로 수의 함수로 달라지는지를 보여준다. 

 강도는 각각의 Bragg peak 주위의 주기 함수이고, 이 함수는 단위로의 수에 의존한다. 벡터 s는 3차원적인 벡터로서 역공 간에서 특정한 한 방향으로 어떤 일탈 강도는 그 방향에 놓여 있는 단위 포의 개수에 의존한다. 다르게 표현하면, 역격자 점들은 단위로의 수가 작은 방향을 따라 길게 늘어져 역격자 봉(즉, rel rod)이 되는 것으로 생각하면 이해하기가 쉽다. 이를 증명할 수 있는 간단한 방식이 역공 간에 강도가 일정한 등고선으로, 최대 강도의 반을 그리는 것이다. 역격자 봉이 역공 간의 sampling 한 영역에 수직화할 때, 작은 결정의 크기가 주는 영향은 주사에서 나타나지 않는다. 이 결과는 역공 간 시각에서 얻은 것이며, Scheffer 공식의 결과와 같다. 두 결과는 직공 간과 역공 간의 중요한 특징을 강조한다. 만약 물체의 크기가 직공 간 방향을 따라 크다면 역공 간에서 대응하는 방향에 따른 물체의 크기는 작다. 그 역도 마찬가지이다.

3. 변형1

 전위들과 아 결정립(sub grain)들은 다른 한 유형의 결함으로 볼 수 있다. 이는 회절에서 크게 중대한 결과를 낸다. 전이가 존재하는 것을 실험적으로 입증하기 전에, 많은 간접적인 증거들은 실제의 모든 결정에는 모자이크 구조가 어느 정도 있다는 것을 보여준다. 모자이크 구조가 있는 한 결정은 원자들이 결정의 한 면에서 다른 면들로 확장하는, 완전히 규칙적인 격자에서 배열하지 않는다. 그 대신 격자들은 다수의 작은 블록으로 쪼개져서 서로 간에 약간 틀어진 채로 배열되어 있다. 이 블록들의 크기는 1000Å 정도인데 반해 그 사이 방위 일탈의 쵣 각은 결정에 따라 매우 작은 값에서 크게는 1도까지 변할 가능성도 있다. 또 하나의 모자이크 구조의 영향은 이상적으로 완전한 한 결정에 대해 이론적으로 계산한 적분 강도에 비해 회절 빔의 적분 강도를 크게 만든다. 

 1960년대에 TEM은 모자이크 구조에 관한 직접 증거를 제시하였다. 이는 실제의 결정들이 단결정이든지 다결정질한 집합체에서 개별적인 입자이든지 간에 존재하는 전위로 경계를 나타내는 하부 구조를 지녔다는 것을 확인 시켜 주었다. 이 전위들의 밀도는 불균일하다. 전위들은 스스로 무리를 지어 전위 밀도가 낮은 작은 부피들을 둘러싸는 장벽(아입경계)을 만든다. 최근에는 '모자이크 구조'라는 용어는, 거의 사용되지 않지만 작은 블록은 아결정립과 동일하고 블록 사이 부위는 전위 장벽이다. 회절의 적분 강도를 증가하게 하는 원인은 무리를 이룬 전위가 수반하는 변형과 변형 경사이며 회전한 구역들이 있다는 사실로 그렇게 되는 것은 아니다.