회절 2 : 회절빔의 강도 - 한 개 전자의 산란, 한 개 원자의 산란

1. 한 개 전자의 산란

 어떠한 점에서도, x선 빔은 강도가 시간에 따라 사인 함수적으로 변하는 전기장이다. 따라서 전자기파로 기술할 수 있다. 전기장은 전자와 같은 하전 입자에 힘을 주므로, x선 빔의 진동하는 전기장은 마주치는 임의의 전자를 이의 평균 위치 주위에서 진동하게 만든다.

 가속하거나 감속하는 한 개의 전자는 한가지의 전자기파를 방출한다. 이런 현상의 한 가지 예는 x선 관의 논의에서 나오고, 이때 x선은 타깃을 때리는 전자들의 빠른 감속 때문에 발생한다. 이와 비슷하게 한 개의 x선 빔이 진동을 시작하게 한, 한 개의 전자는 연속으로 운동하는 동안 가속하거나 감속한다. 그 결과로 한 개의 전자기파를 방출한다. 이런 점에서 산란 빔은 간단하게 입사 빔의 작용으로 그 전자가 방사한 빔이기 때문에 한 개의 전자는 x선을 산란한다고 말할 수 있다. 산란 빔은 주파수와 파장이 입사 빔과 같으며 입사 빔과 간섭한다. 이러한 사유는 산란 빔의 위상과 이를 발생시킨 입사 빔의 위상 사이에 일정한 관계식이 있기 때문이다. 한 전자 내의 산란에서 위상 변화는 π/2로 나타낼 수 있다. 결정 내 모든 전자에서 이 값은 정확하게 일치하기 때문에 다른 원자가 산란한 x선 사이 위상 차이는 어떻게든 고려하더라도 상쇄한다. 따라서 Bragg 법칙의 유도에 영향을 미치지 않는다.

 비록 한 전자는 x선을 모든 방향으로 산란하지만, 산란 빔의 강도는 Thomson이 처음으로 증명한 방식으로 산란각에 의존한다. 

IP=l0*K/r^2*(1+cos^22 θ)/2

 이 식은 한 개의 전자가 일으키는 x선 산란의 Thomson 공식이다. Thomson 공식은 산란 빔의 절대 강도를 입사 빔의 절대 강도로 나타낸다. 이 절대 강도는 둘 다 측정하기 어렵고 계산하기 어려우므로 실제 모든 회절 문제에서 상댓값으로 충분하다는 것을 알려준다. 마지막 인자인 (1+cos^22 θ)/2를 편광인 자라고 하고, 이 인자는 입사 빔이 무 편광이라는 이유로 그냥 들어간다. 편광인 자는 모든 강도 계산에서 공통으로 적용된다.

 

한 전자가 x선을 산란할 수 있는 또 다른 매우 다른 방식이 있다. 이는 Compton 효과로 표현한다. 이 효과는 Compton이 1923년에 처음 발견했으며, x선이 느슨하게 묶인 전자나 자유전자들을 마주칠 때마다 발생한다. 입사 빔을 파동이 아닌 개개의 에너지 h 1인 x선 양자나 광자의 줄기로 생각할 때만 이해가 가능하다. 이러한 광자가 느슨히 묶인 전자 하나를 때릴 때, 충돌은 두 개의 당구공이 부딪힐 때처럼 탄성적으로 된다. 그러므로 산란 방사선의 파장 λ1은 입사 빔의 파장 λ1보다 약간 더 크고 변화량은 아래와 같이 나타날 수 있다.

Δ λ(Å)=λ2-λ1=0.0486 sin^θ

 파장에서 증가는 산란각에만 의존하고, 이 값은 전방(2θ=0) 영역에서 아주 후방(2θ=180도) 0.05Å까지 변한다. 그렇게 산란한 방사선은 Compton 변조 방사선이라고 한다. 파장을 증가시키는 것 외에 이 방사선의 위상은 입사빔의 위상과 관계가 일정하지 않는다는 중요한 특성을 지닌다. 이러한 사유로, 이 방사선은 비간섭 방사선으로도 알려져 있다. 이 방사선의 위상은 입사빔의 위상에 무질서하게 관계가 있을 뿐이다. 따라서 회절을 발생시킬 수 없고, 이 산란은 회절무늬에서 배경이 증가하는 결과를 초래한다. 양자이론은 간섭성과 비간섭성 산란을 둘 다 설명할 수 있다. 하지만 파동이론에서는 간접성 산란에만 적용이 가능하다. 양자 이론의 의미로 간섭성 산란은 입사 광자가 매우 꽉 묶인 전자를 튀어나가게 할 때 발생한다. 그러나 이 전자는 너무 꽉 묶이는 바람에 충돌에서 운동량을 받지 못한다. 그러므로 산란광자는 에너지가 서로 같으며, 이전과 파장이 같다.

2. 한 개 원자의 산란

 x선 빔이 한 개의 원자에 부딪히면 그 내부에 있는 각각의 전자는 Thomson 공식에 의해 간섭성으로 그 방사선의 일부를 산란한다. 원자핵도 간섭성 산란을 발생시킬 것으로 예상이 가능하다. 이러한 이유는 원자핵도 전하가 있고, 입사 빔의 영향으로 진동할 수 있어야 하기 때문이다. 그러나 원자핵은 전자핵에 비해 질량이 매우 크고, 조금이라도 감지할 정도로는 진동이 불가하다. 사실 Thomson 공식은 간섭성 산란의 강도는 산란 입자의 질량 제곱의 역으로 비례하는 것을 확인할 수있다. 순 효과로 한 원자의 간섭성 산란은 그 원자에 있는 전자들에만 기인한다는 것이다. 

 한 원자의 산란파는 구성 전자들의 산란파를 단순히 더한 것인지 알아볼 필요가 있다. 더 자세히 설명하자면, 원자번호 Z의 한 원자, 즉 Z개의 전자를 포함하는 한 원자는 단 한개의 전자가 산란한 파의 진폭을 Z배한 진폭을 지닌 파를 산란하는 지도 알아야 한다. 만약에 전방(2θ=0) 에서 산란하는 경우에는 답이 맞는다. 왜냐하면 그 원자의 모든 전자가 산란한 파는 그 때 그 상황에서는 위상이 같고, 모든 산란파의 진폭을 바로 더할 수 있기 때문이다. 하지만 원자가 다른 방향으로 산란하는 경우에는 한 원자의 전자들이 공간에서 다름 점들에 있다는 사실이 다른 전자의 산란파 사이의 위상에서 차이를 발생시킨다. 중앙 원자핵 주위로 전자들이 배치되어 있다고 상상해보자. 전자 A와 B가 전방으로 산란한 파는 정확하게 XX'와 같은 파 전면에서 위상이 같다. 왜냐하면 개개의 파는 산란 전 후에 같은 거리를 이동하기 때문이다. 하지만 다른 파들은 YY'파 전면을 따라 약간 위상이 다르고 위상차는 한 파장보다 더 작다. 부분 간섭이 A와 B의 산란파 사이에서 발생하게 되면 그 결과로 이 방향에서 산란파의 순 진폭은 전방에서 같은 전자가 산란하게 한 파의 진폭에 비해 더 작다. 양 f, 원자 산란 인자는 지정한 방향에 있는 원자 산란의 능률을 기술하는데에 사용된다.

f=하나의 원자가 산란한 파의 진폭/하나의 전자가 산란한 파의 진폭

위와 같이 표현할 수 있다. 전방으로 산란하게 하는 어떠한 원자에서도 f=Z임이 명백하지만, θ가 증가하면서 개개의 전자 산란파는 더이상 위상이 같지 않게 되고, f는 감소하게 된다. 그리고 원자 산란 인자는 입사빔의 파장에도 의존한다. θ의 한 고정값에서 f는 파장이 짧을 수록 더 작아진다. 그 사유는 경로차가 파장에 비해 더 커질 가능성이 있기 때문이다. f의 실제 계산에서는 θ보다는 sinθ 가 필요하고 그 결과 순 영향은 f는 sin θ/ λ 양이 증가할 수록 감소한다는 것이다. 산란인자 f를 때로는 형식인자로 부른다. 그 까닭은 이 인자는 원자들이 원자핵 주위에 분포하는 방식에 의존하기 때문이다.