회절 1 : Bragg 법칙, Laue의 공식

1. Bragg 법칙

 두 기하학적인 사실은 기억할 만하다. : (1) 입사 빔, 회절 면, 수직선, 회절빔은 모두 같은 평면에 있다. (2) 회절빔과 투과 빔 사이의 각은 언제나 2 θ이다. 이 각은 회절 각으로 알려져 있고, 실험으로 측정하는 것은 θ가 아니라 바로 이 각이다. 앞서 언급한 바와 같이 회절은 보통 파동의 파장과 산란 중심 사이의 반복 거리가 같은 정도의 크기일 때만 일어난다. 이러한 필요조건은 Bragg 법칙에서 나온다.

 sin θ는 1을 넘지 않으므로, n λ /2d'=sin θ < 1이고, 따라서 n λ는 2d'보다 작다. 회절에서 가장 작은 n 값은 1이다. (n=0이라는 것은 투과 빔의 방향과 같은 방향에서 회절하는 빔에 해당한다. 이러한 빔을 관측할 수는 없다. 그러므로 관측할 수 있는 각 2 θ에서 회절 조건은 λ < 2d'이다. 결정면에서 대부분의 조에서 d'는 3Å 이하이다. 이것은 λ가 대략 6Å을 넘지 못한다는 것을 의미한다. 예로서 측정하면, 결정은 파장이 약 500Å인 자외선을 절대로 회절할 수 없다. 다른 한편으로, 만일 λ이 매우 작으면 회절각은 특별한 장치가 필요하다. 

Bragg 법칙은 다음과 같은 형식으로 표현할 수 있다.
Bragg's law: λ = 2d sin θ

 단순입방 물질에서의 제 2차 100반사를 생각해보자. 이 것은 2차 반사이기 때문에 인접한 (100), 가령 i와 (i+1)면에서 산란한 x선 사이의 위상차 ABC는 파장의 2배가 되어야 한다. 단순입방 구조에서 모든 격자점은 (100) 중의 하나에 있다. 만일 i째와 (i+1)째 면 사이의 중간에 점선으로 표시한 면에 산란체들이 있다면 이들은 i째와 (i+1)째 면의 원자와는 위상에서 파장 하나가 다르게 산란을 일으킨다. 그러므로 i째, (i+1/2)째, (i+1)째 면은 회절빔에서 위상이 같은 위치가 된다. 이 주기성은 제 2차 100회절에서는 a/2이고 d200으로 나타낸다.일반적으로 d' 간격 (hkl)에서 n차 회절은 간격이 d=d'/n인 (nh, nk, nl)에서 제 1차 회절이라고 생각할 수 있다. 이러한 규약은 Miller 지수의 정의와 일치한다는 것에 주목한다. 왜냐하면 (nh, nk, nl) 면은 (hkl)에 평행이지만, 간격이 후자의 1/n인 면의 Miller 지수이기 때문이다. 단위포 내 여러 위치에서 원자의 존재 여부는 여러 반사에서 관측한 회절선 강도에 심각한 영향을 준다.

 

2. Laue의 공식

 Bragg의 공식은 보통 스칼라 방식으로 회절을 표현한다.. 일반적으로 결정은 3차원적인 실체이고, 이를 일반적으로 표현하기 위해서는 전개를 하고자 하는 공식을 회절빔의 방향을 나타내 주기 위해서 벡터로서 표현해야 한다. a만큼의 간격으로 떨어져 있는 산란체의 1차원 배열의 경우에, 입사빔은 방향 S0로 표현한다. 산란체의 각과 배열선이 α0에, 회절빔 방향이 S인 상황에서 경로 차가 파장 nλ의 정수배를 이루고자 하려면 S가 산란체의 배열선과 만드는 각 α은 다음 식을 만족한다. 아래 식은 산란체의 열과 축이 서로 동심원이고, 반 정각이 α이어야 한다.

a(cosα - cosα0) = hλ 

또한 보강 간섭이 발생되기 위해서는 아래 식도 동시에 만족해야 한다.

b(cosβ - cosβ0) = kλ (k=정수)

셋째 방향으로 c만큼 간격 차이가 나는 산란체 배열을 고려할 경우에는 세번째 만족 조건이 생긴다. 

c(cosγ - cosγ0) = lλ (l=정수)

이 위의 세가지 식을 모두 모아 정리하면 Laue 공식이라고 한다. 이는 회절의 3차원적인 성질을 강조한다. 일반적으로 Bragg 공식은 수치용으로 사용하기에 훨씬 편리하다.

 

3. 역격자와 회절

 역격자는 회절의 기하학적 조건을 결정하는 데 쓸 수 있다. 회절이 일어나기 위해서는 ϕ가 2π의 정수배이어야 한다. 이 값이 p, q(즉 많은 다른 산란위치에서) 동시에 만족하려면 h', k', l'은  특별한 값이 아니고 계속 변하는 정수여야 한다.

ϕ = -2π(h'p+k'q+l'r) 

 어떤 결정에서 가능한 회절빔의 방향은 Ewald 구를 만들어서 결정할 수도 있다. 단순 사방 결정의 역격자를 고찰해보면, (hkl)에서 회절이 일어날 조건은 Ewald구가 hkl 역격자 점과 교차하는 것이다. 어떤 hkl 회절이 가능할 것인지를 결정할 수 있도록 Ewald 구는 역격자 원점 주위로 모든 가능한 방위로의 회전이 가능하다. 이러한 결과로서 역격자 원점을 중심으로 하는 반경이 2/λ인 '제한구'가 된다. 제한구 내에나 위에 있는 역격자 점에 대응하는 모든 회절빔은 적절한 결정방위에서 여기상태로 변한다. 어떤 회절빔이 가능한지 결정하기 위해 역격자를 사용하는 장점으로는 S나 S0의 방향이 분명히 구분 가능하다는 것이다. Bragg 각의 수치값이 필요할 때는 Bragg 법칙을 직접 사용하는 것이 유리하다.

 

금속의 lattice