결정 기하학 - 결정계, 결정 구조

1. 결정계(Crystal systems)

 격자를 세 개의 동일 평면상에 있지 않은 격자 벡터로 정의하는 데서 벡터의 길이와 방향에 따라서 여러 모양의 단위 포가 나온다. 예를 들면, 벡터 a, b, c가 같은 길이로 서로 직각일 때 단위로는 입방체이다. 축의 길이와 각에 특정 값을 주면 여러 모양의 단위 포와 그 결과로 여러 종류의 점 격자가 생기는데, 격자의 점이 단순 단위 포의 모서리에 있기 때문이다. 모든 가능한 점 격자는 7개의 단위로 중 하나로 나타난다. 이것은 7개의 결정계에 대응하고 모든 결정을 이 중의 하나로 분류한다.

 7개의 서로 다른 점 격자는 7개의 결정계의 단위로 모서리에 점을 놓아서 쉽게 얻는다. 그렇지만 점 격자의 조건, 즉, 각 격자점은 주위 환경이 동등하다는 조건을 만족하는 점의 배열이 있다. 프랑스의 결정학자인 Bravais는 이 문제를 연구하여 1848년에 14개의 점 격자가 있으며 그 이상은 없다는 것을 입증하였다. 중요한 성과를 기념하기 위해 'Bravais 격자'와 '점 격자'의 용어를 동의어로 함께 사용한다. 예를 들면, 입방 점 격자에서 각 포의 중심에 점을 하나씩 놓는다면 그 새로운 점의 배열도 좀 격자가 된다. 이와 유사하게 또 하나의 점 격자가 입방단위 포에 바탕을 둘 수 있는데, 이 포는 격자점들이 각각의 모서리나 각각의 면의 중심에 있다. 어떤 단위로는 단순 포이고 어떤 것은 비단 순 포이다. 단순 포는 포마다 단 한 개의 격자점이 있는 반면에, 비단 선포는 격자점이 두 개 이상 있는 것이다. 포 안에 있는 격자점은 그 포에 '속하지만' 포의 면에 있는 격자점은 두 개의 포에 속하고 모서리에 있는 것은 8개의 포에 속한다.

 

 격자점의 동일한 배열은 파선으로 보인 것과 같이 단순 정방 격자로 볼 수 있고, 따라서 점의 점심 배열은 새로운 격자가 아니다. 하지만 점심(based-centered) 포도 좋은 완전한 단위 포이며 단순 포 대신 쓰일 수도 있다. 비단 순 포의 격자점은 단순 단위 포와 똑같이 단위로 벡터 a, b, c를 반복해서 적용하면 공간에서 펼쳐갈 수 있다. 단위 포에 따르는 격자점은 하나씩이나 한 무리로 병진할 수 있다. 어느 예에서도 인접한 단위 포에서 등가인 격자점은 단위 포에서 어디에 있더라도 a, b, c 벡터의 하나로 분리한다.

 일정한 최소한의 대칭요소의 집합이 있다는 것은 각 결정계의 기본 성질이며 한 결정계는 결정축의 길이와 각의 크기로 하는 만큼이나 대칭요소로 다른 결정계와 구분한다. 사실 이 둘은 서로 의존한다. 예를 들면 입방체의 면에 수직인 4회 회전축이 존재하려면 포의 변은 서로 길이가 같고 서로 90도이어야 한다. 반면에 정방로는 단 하나의 4회 축이 있는데, 이 대칭으로 두 변만 길이가 서로 같아야 하고, 회전축에 대하여 직각이어야 한다. 일부 결정에는 그것이 속하는 결정계가 요구하는 최소한의 대칭요소보다 더 많은 대칭요소가 있는 것도 있지만 대칭요소가 더 적은 예는 없다. 일정한 대칭 요소가 존재한다는 것은 종종 다른 대칭요소가 존재한다는 것을 암시하기도 한다. 예를 들면, 세 개의 회전축이 있는 결정은 반드시 추가하여 네 개의 3회 회전축이 있고 입방정계에 속한다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 입방격자에서는 세 개의 4회 회전축이 없기도 하다.

격자점의 동일한 배열은 파선으로 보인 것과 같이 단순 정방 격자로 볼 수 있고, 따라서 점의 점심 배열은 새로운 격자가 아니다. 하지만 점심(based-centered) 포도 좋은 완전한 단위 포이며 단순 포 대신 쓰일 수도 있다. 비단 순 포의 격자점은 단순 단위 포와 똑같이 단위로 벡터 a, b, c를 반복해서 적용하면 공간에서 펼쳐갈 수 있다. 단위 포에 따르는 격자점은 하나씩이나 한 무리로 병진할 수 있다. 어느 예에서도 인접한 단위 포에서 등가인 격자점은 단위 포에서 어디에 있더라도 a, b, c 벡터의 하나로 분리한다.

일정한 최소한의 대칭요소의 집합이 있다는 것은 각 결정계의 기본 성질이며 한 결정계는 결정축의 길이와 각의 크기로 하는 만큼이나 대칭요소로 다른 결정계와 구분한다. 사실 이 둘은 서로 의존한다. 예를 들면 입방체의 면에 수직인 4회 회전축이 존재하려면 포의 변은 서로 길이가 같고 서로 90도이어야 한다. 반면에 정방로는 단 하나의 4회 축이 있는데, 이 대칭으로 두 변만 길이가 서로 같아야 하고, 회전축에 대하여 직각이어야 한다. 일부 결정에는 그것이 속하는 결정계가 요구하는 최소한의 대칭요소보다 더 많은 대칭요소가 있는 것도 있지만 대칭요소가 더 적은 예는 없다. 일정한 대칭 요소가 존재한다는 것은 종종 다른 대칭요소가 존재한다는 것을 암시하기도 한다. 예를 들면, 세 개의 회전축이 있는 결정은 반드시 추가하여 네 개의 3회 회전축이 있고 입방정계에 속한다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 입방격자에서는 세 개의 4회 회전축이 없기도 하다.

대칭 조작은 단순히 기하학적 형태로 본다면 단위로뿐만 아니라 그것에 따르는 점 격자에도 적용한다. 후자의 조건은 입방정계는 점심 점 격자를 포함할 가능성을 없앤다. 왜냐하면 그러한 점의 배열에는 입방정계가 요구하는 최소한의 대칭 요소인 네 개의 3회 회전축이 없기 때문이다. 그렇나 격자는 정방정계와 관계하는데, 이 정계에는 3회 축은 없으며 우연히 a와 c 축이 같을 수는 있다. 능 연 체(감방) 정계의 결정은 능 연 체 격자나 육방격자 어느 하나로도 나뉠 수 있다. 이러한 두 격자 사이의 관계와 변환 방정식을 주는데 이 식은 한 면의 miller 지수를 어느 한 조의 축으로 표현하게 한다.대칭 조작은 단순히 기하학적 형태로 본다면 단위로뿐만 아니라 그것에 따르는 점 격자에도 적용한다. 후자의 조건은 입방정계는 점심 점 격자를 포함할 가능성을 없앤다. 왜냐하면 그러한 점의 배열에는 입방정계가 요구하는 최소한의 대칭 요소인 네 개의 3회 회전축이 없기 때문이다. 그렇나 격자는 정방정계와 관계하는데, 이 정계에는 3회 축은 없으며 우연히 a와 c 축이 같을 수는 있다. 능 연 체(감방) 정계의 결정은 능 연 체 격자나 육방격자 어느 하나로도 나뉠 수 있다. 이러한 두 격자 사이의 관계와 변환 방정식을 주는데 이 식은 한 면의 miller 지수를 어느 한 조의 축으로 표현하게 한다.

 

2. 결정 구조

 이제 일부의 실제 결정 구조를 기술하고 그것을 앞서 설명한 점 격자(point lattice), 결정계(crystal system), 대칭요소(symmetry element)와 관계를 맺는다. 결정구조의 주요 원칙은 결정의 원자는 공간에서 Bravais 격자점과 어떤 일정한 관계에 놓인다는 것이다. 이러한 사실에서 결정의 원자는 3차원에서 주기적으로 배열하고 원자의 이런 배열은 Bravais 격자의 많은 성질, 특히 많은 대칭요소를 나타낼 것임이 틀림없다. 각각의 격자점에 따라오는 특징들을 격자의 기초로 부르고 이것을 1차원, 2차원이나 3차원 결정구조에 적용한다. 수직인 파선은 단위로의 끝을 표시한다. 격자의 기초는 한 개의 점-대시(dash)이며 대시의 오른쪽에 점이 있다.

 공간군(space group) 용어는 결정계의 전체 공간 배열을 정의하는데, 즉, 병진(translation, 다시 말하면 위 포의 크기와 모양을 결정하는 벡터)은 한 점에 작용하는 대칭요소들과 조합하여 다시 말하면 공간군을 만든다. 1차원 격자에는 두 개의 점 군과 두 개의 공간군이 있고, 2차원 격자에서는 17개의 공간군이 있고 3차원 격자에서는 230개의 공간군이 있다. 3차원 결정은 어떠한 원자 배열도 할 수 있는 것이 아니라 230가지 가능성에서 하나만 한다는 것을 명시한다. 그 대신 다른 결정에는 단 하나 원자에서 수천이나 수백만 원자에 이르는 여러 가지 기초가 있다.