결정 기하학 - 점, 선, 평면의 표기, 역격자, 대칭

1. 점, 선, 평면의 표기

 

 격자 내에서 모든 점은 격자의 원점에 대하여 위치벡터로 단 하나 존재하는 점으로 정의한다. 만일 격자의 원점이 격자점 하나에 위치하고, 정수라면, r로 정하는 점은 격자점이어야 하고, 좌표를 정렬한 삼정자로 간단히 쓴다. 격자점 사이나 등가인 단위로 모서리 사이의 벡터와 단위로 모서리에서, 그 단위로의 모서리에 대하여 UWV 위치에 있는 단위로 내 한점까지 잇는 벡터의 합이다. 격자 내 임의의 선의 방향을, 먼저 점의 좌표를 부여하여 기술할 수 있다. 격자는 무한하고, 원점은 아무 점에서 잡으므로 이 지수는 그 선에 평행인 아무 선의 지수이다. 점의 좌푯값이 어떤 값이 되든지 간에 적당한 숫자를 곱하거나 나누거나 하여 한 조의 가장 작은 정수로 변환할 수 있다.

 대칭으로 관계가 있는 방향들을 결정형의 방향이라고 한다. 한 조의 이런 방향들을 그중 하나의 지수를 지난 모난 괄호에 넣어 표시한다. 예를 들면, 입방체의 체 대각선의 네 방향은 모두로 나타낼 수 있다.

 격자에서 면의 방위도 영국의 결정학자인 Miller가 보급한 표현법에 따라 기호로 나타낼 수 있다. 일반적인 예에서 지정한 면은 결정축에 대하여 결사한다. 따라서 이 축은 편리한 기준틀을 만들므로 면의 방위를 원점에서 세 개의 축과 만나는 곳까지 잰 실제 거리를 주어 나타낼 수 있다. 이러한 거리는 축 길이의 분비율로 표시하는 것이 더 바람직하다. 그 수는 지정한 격자에 관계하는 특정 축 길이에 무관하게 된다. 지정한 면이 어떤 결정학 축에 평행할 때는 어려움이 생기는데, 그 까닭은 그 면이 축과 만나지 않기 때문에다. 즉 이 절편은 '무한'이라고만 쓸 수 있다. 면의 방위를 기술하는 데서 무한대의 도입을 피하기 위해 분율 절편의 역이 쓰이는데, 면과 축이 평행일 때 그 역수가 '0'이 되기 때문이다. 그 결과로 격자 내의 면 방위를 표시하는 실용적인 기호체계, Miller 지수를 얻을 수 있다. 이 지수를 면이 결정축과 만드는 분율 절편의 역수로 정의한다. 어떤 격자 내에도 임의의 면에 평행하게 한 조의 평행한 등거리인 면이 있고, 그중 한 명은 원점을 지난다. 비록 그 면이 그 조에서 어떤 다른 면이나 함께 취한 전체의 조를 가리키는 것으로 정할 수 있어도 miller 지수는 보통 그 조에서 원점에 가장 가까운 면을 표시한다. 격자 내 면의 여러 조는 면간거리가 여러 가지다. 면간거리가 큰 면은 miller 지수가 작고 지나는 격자점의 밀도가 높은 데 비해 면간거리가 작은 면은 그 반대가 된다.

 

2. 역격자

 

 벡터 ai(즉, a, b, c)는 3차원 격자의 기본 벡터를 정의한다. 하지만 이 직공 간 격자가 지정한 격자점 배열의 주기성과 대칭을 표현하는 유일한 방식은 아니다. 역격자 bi(즉, 역공 간에서 격자)를 직공 간 격자 ai 하나하나에 대하여 정의가 필요하다. 역격자에 대한 식에서 분자에 있는 지수를 순환 치환할 때 오른손의 역격자가 생기도록 지킨다. 엄밀하게 말하면 분모도 분자와 마찬가지로 지수를 동일하게 치환하여 써야 한다. 그러나 벡터적인 직공 간 격자의 단위로의 부피이고 이 부피는 a1을 곱하는 순서에 상관없이 같다. 역격자의 중요 특성으로 첫째, 분자에서 벡터적인 B1이 a2와 A3에 수직이고, A3와 a1이 B2에 수직이고, B3는 a1과 a2에 수직인 것을 의미한다. 이런 관계는 역격자가 서로 정규직교한다는 것을 뜻한다.

 결정학 용어에서 한 조의 평행한 격자면 유일하게 정의하는 데 필요한 것은 그 면의 방위와 주기가 전부이다. 이 요소는 면의 법선(한 방향)과 면 사이의 거리이다. 그러므로 역공 간에서 벡터로 정의하는, 단 하나의 격자점으로 무한 계열의 물리적인 직공 간의 면을 나타내는 것이 충분하다. 바꾸어 말하여, 직공 간에서 역공 간으로 변환은 모든 직공 간 면을 한 점(즉, 좌표가 h, k, l인 역격자 점)으로 사상한다. 직공 간에 있는 대칭은 역공 간에서 나타나는 것에 주목한다. 결정의 역격자 표현은 회절을 이해하는 데 강력한 도구이다.

 

3. 대칭

 반복의 한 유형인, 격자 병진은 1차, 2차나 3차원 망의 주기성 근거가 된다. 개개의 격자점 주위는 종류뿐만 아니라 방위에서도 동등하다. 대칭은 반복의 둘째 유형이고 이는 벽지에서 보이는 2차원 무늬나 결정을 구성하는 원자, 이온이나 분자들의 3차원 집합체의 주기성을 정의하는 데 필요하다. 여러 가지 대칭 조작은 격자에 붙는 반복하는 특징이나 모티프들의 방위를 바꾸게 한다. 이런 조작은 격자 병진의 단순 반복으로 생기는 무늬보다 더 복잡한 반복하는 무늬들을 기술할 때 필요하다. 간단히 말하면 결정학에서 사용하는 대칭요소는 격자와 구별하여 소개하고, 나중에서야 결정구조를 만들기 위해 격자에 들어간다.

 격자에 대칭을 어떻게 통합하는지를 설명하기 이전에 먼저 대칭요소가 그 주위에 어떻게 작용하는지를 알아보자. 만일 어떤 물체가 대칭요소에 대하여 특정 위치에 있다면, 대칭 요소의 종류는 처음 대상과 동등한 물체를, 방향을 제외하고, 찾기 위해서 어디를 불 지를 알려준다. 달리 말하면 한 물체에 어떤 대칭 조작을 하여 그것이 그 자체와 완전히 일치하게 가져오는 일종의 균형에서 구성 요소가 배열할 때 그 물체나 구조는 대칭적이다고 말한다. 예를 들면 만일 물체가 이를 지나는 한 평면에 대하여 대칭적이라면, 거울 면을 가로지르는 물체의 어느 반쪽의 반영은 다른 반쪽과 일치하는 물체를 만든다. 입방체는 여러 개의 대칭 면이 있다. 점 두 개가 입방체 중심을 지나는 거울 면이 있기 때문에 동등하며 이 점은 반영인 관계에 있다.

배열 순서를 가진 격자