결정기하학 - 격자

1. 격자

 

 결정은 원자, 이온이나 분자가 주기적인 방식으로 3차원 공간에서 배열하고 있는 것으로 정의한다. 그것으로 결정은 원자, 이온이나 분자의 배열에서 주기성을 필수의 필요조건으로 갖지 않는 가스나 액체와 근본적으로 다르다. 많은 고체는 결정질이다. 단결정이 아니면 접촉하는 많은 결정으로 된다. 즉, 다 결정질이다. 그러나 모든 고체가 결정질은 아니다. 어떤 것은 유리와 같이 비정질인데, 원자, 이온이나 분자들은 내부의 규칙 배열을 이루고 있지 않다. 실제로 비정질의 고체와 액체 간에는 본질적인 차이가 없으며 비정질 고체는 종종 '과냉각 액체'라 부르기도 한다. 여기서 강조해야 할 중요한 것은 원자, 이온이나 분자들의 위치가 반복뿐만 아니라 배열에서 어떤 대칭관계가 있다는 것이다. 

 결정을 고찰할 때 원자, 이온이나 분자들을 무시하고 주기적인 배열의 지사학에만 초점을 맞추는 것이 종종 편리할 때가 있다. 그러면 결정을 격자하는, 즉 점의 3차원적인 배열로 나타내고 이때 각각은 주위 환경이 동일하다. 수학 구성 개념으로서 크기에서 격자는 무한한 데 비해 결정은 유한하다. 실제 용어로는 이러한 구별을 미해결의 문제로 남길 만큼 대부분의 결정은 충분한 원자들로 되어 있다.

얼음 격자

 먼저 1차원적인 격자를 생각해보자. 전체 '공간'은 두께가 '영'이다. 격자점은 격자 병진벡터로 나뉘는데 이 벡터는 a로 표시한다. 격자점에서 Na의 병진은, n은 상수로 한 격자점을 다른 한 점으로 오게 한다. 면이나 2차원 격자는 동일 평면상에 있지 않은 두 개의 격자 벡터 a와 b로 된다. 이 벡터는 길이가 a, b이고 각 r로 서로 나뉜다. 이렇게 격자의 점들을 세 개의 병진벡터를 단지 반복하여 적용하는 것만으로도 생성할 수 있다. 정상적으로 a, b, c를 오른손 방향으로 정의한다. 오른손 집게손가락은 a 방향으로 향하고 중간 손가락은 b 방향으로 구부리고 엄지는 c 방향으로 향한다. 벡터 a, b, c는 단위 포를 정의하는데 이것은 프리즘이나 평행육면체이다. 사실 단위 포를 면과 면으로 쌓아 올리는 것은 격자를 만들어내는 다른 한 방법이며 병진벡터만을 생각할 때보다 때로는 훨씬 더 명확하게 이해를 도와준다. 단위 포를 여섯 스칼라 격자상수로 나타낼 수 있다. 단위로(면과 내부)는 완전하게 격자를 정의한다는 것을 꼭 강조한다. 인접한 단위로는 서로 접하고, 8개의 단위 포기한 개의 꼭짓점 각각, 네 개의 변 각각, 두 개의 면 각각을 공유한다. 하나의 단위 포에 8개의 격자점이 있다고 할지라도 이 각각은 다른 8개의 단위 포와 공유하기 때문에 각 점의 8분의 1만이 그림의 특정 단위 포에 속한다. 따라서 단위로 하나에 격자점 하나만 있고, 격자점을 단 하나만 포함하도록 선택한 이런저런 단위로는 기본이라고 한다.